Matematik

Sayısal büyüklüklerin tanımlamalarını olduğu gibi kabul ederiz. Elektronik çalışırken bu hem iyi hem de kötü bir şeydir. Elektronik devrelerin analizi nedeni ile yapılan hesaplamalar için sayıların kullanımına alışık olduğumuz için iyidir. Diğer yandan ilkokuldan beri öğrendiğimiz belirli notasyon sistemi, çağdaş elektronik sayısal sistemlerinde kullanılan sistem değildir. Ve farklı notasyon sistemi öğrenmek, yerleşmiş varsayımları biraz derinlemesine gözden geçirmeyi gerektirir.
Öncelikle sayıları temsil etmek için kullandığımız sayılar ve semboller arasındaki farkı ayırt etmek zorundayız. Bir sayı genellikle voltaj, akım yada direnç gibi fiziksel bir nicelik ile elektroniğin bağdaştığı matematiksel bir niceliktir. Birçok farklı tipte sayı vardır. Buradakiler sadece birkaç çeşittir, örneğin:

SAYILAR: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . .
TAM SAYILAR: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .
İRRASYONEL SAYILAR: π (yaklaşık 3.1415927), e (yaklaşık 2.718281828), herhangi bir asalın karekökü
GERÇEL SAYILAR: (Negatif ve pozitif, sıfırı içeren, sayı, tam sayı ve irrasyonel sayılar gibi tüm tek-boyutlu sayısal değerlerdir)
KOMPLEKS SAYILAR: 3 - j4 , 34.5 ∠ 20o

Fizik dünyasında farklı uygulamalarda farklı türde sayılar bulunur. Sayılar, devredeki dirençlerin sayısı gibi farklı nesnelerin sayılmasında çok işe yarar. Tam sayılara, sayıların negatif eşitlikleri gerektiğinde ihtiyaç duyulur. İrrasyonel sayılar tam olarak iki tam sayının oranı gibi tanımlanamayan sayılardır ve çemberin çevresinin, çapına oranı (n) buna güzel bir fiziksel örnektir. DC (Direct Circuit-Doğru Akım) devrelerde karşılaştığımız tamsayı olmayan voltaj, akım ve direnç gibi nicelikler kesirli yada ondalık formda gerçel sayılar gibi tanımlanabilir. Bununla birlikte AC (Alternative Circuit-Alternatif Akım) devre analizleri için gerçel sayılar büyüklük ve faz açısının çift varlığını yakalayamaz ve bu yüzden dikdörtgensel yada kutupsal formda kompleks sayıları kullanmaya yöneliriz.
Bilimsel çıkarımlar yapmak ya da çek defterimizi bilançolamak gibi fiziksel dünyadaki işlemleri anlamak için sayıları kullanıyorsak onları sembolik olarak yeniden ifade etme yoluna sahip olmalıyız. Diğer bir deyişle çek hesabımızda ne kadar paramız olduğunu takip edebilmek için, bir sisteme ve bu sistemdeki niceliği simgelendirmek içinde bir forma ihtiyacımız bulunur. Bunu yapabileceğimiz iki temel yol var: Analog ve sayısal gösterim. Analog gösterim ile nicelik mutlak bölünebilen bir yol ile simgelendirilir. Sayısal gösterimde ise, nicelik ayrık paketlenmiş bir yol ile simgelendirilir.
Muhtemelen paranın analog gösterimine çoktan alışmışsınızdır ve neydi acaba diye düşünmezsiniz. Bir amaç için biriktirilmiş paranın miktarı, kırmızı kolonun yüksekliği ile gösterildiği ve üzerine termometre çizilmiş bir para toplama posteri şeklinde gördünüzmü hiç? Ne kadar çok para birikirse posterdeki kırmızı boya kolonu o kadar yukarıya doğru uzun olur.

Bu sayının analog gösterimine bir örnektir. Hesaptaki paranın miktarını simgelendirebilecek kolonun yüksekliğini inceden inceye nasıl bölüneceğinin gerçek sınırı yoktur. Bu kolonun yüksekliğini değiştirmek ne olduğuna dair başlıca özelliğinin değiştirilmeden yapılabilecek bir şeydir. Uzunluk sınırsız bir şekilde istediğiniz kadar küçük parçalara bölünebilen fiziksel bir niceliktir. Sürgülü cetvel, sayıları temsil etmek için çok benzer fiziksel nicelik “uzunluk” u kullanan ve birer, ikişer yada daha fazla sayı ile aritmetiksel işlemlere yardımcı olan mekanik yani analog bir aygıttır.
Diğer bir yandan standart sembollerle (bazen kod olarak adlandırılır) yazılan parayla ilgili şekle benzer sayısal bir gösterim şöyle görünür:

$35,955.38

Kırmızı kolonu ile "termometre" posterindekinden farklı olarak yukarıdaki simgesel karakterler inceden inceye bölünemezler: Kodların her bir kombinasyonunda sadece bir nicelik bir niceliğin yerine geçer. Eğer hesaba çok para eklenmiş ise (+ $40.12), yeni bilançoyu göstermek için farklı semboller ($35,995.50), yada farklı modellerle ayarlanmış en az benzeyen semboller kullanılmalıdır. Bu sayısal gösterime bir örnek ise Abaküsdür, boncuklarının sayısal nicelikleri simgelemek için çubuklarda ileri geri hareket ettirildiği bir aygıttır. Sürgülü cetvele (analog) benzeyen ama aynı zamanda bir sayısal aygıttır.






Sayısal gösterimin bu iki metodunun farklarına bakalım:

ANALOG SAYISAL ------------------------------------------------------------------ Sezgiyle anlaşılan --------------- Değerlendirme için eğitim gerekir Sınırsızca bölünebilir ------------ Aralıklı Doğruluk hatalarına eğilimli ------ Tam doğruluk

Sayısal simgelerin açıklamasını olduğu gibi kabul ederiz çünkü bize uzun yıllardır öğretilmiştir. Bununla birlikte ondalık rakamların kişi bilgisizliğiyle olan niceliğini bağlamaya çalışıyorsanız bu kişi basit termometre grafiğini anlayabilir.
Sınırsızca bölünebilirliğe karşılık, aralıklı ve doğru karşılaştırmalar aslında paranın diğer yüzüdür. Sayısal gösterim gerçeği kusursuz adımlardaki niceliklerin simgelenebileceği anlamında zorunlu olarak, kesikli sembollerle (ondalıklı rakamlar ve abaküs boncukları) kişisel oluşturulmuştur. Diğer bir yandan bir analog gösterim (sürgü cetvelinin uzunluğu gibi) kişisel adımlarla oluşturulmamıştır. Fakat tercihen hareketin sürekli bir menzilidir. Sürgü cetvelinin sınırsız çözünürlükte, sayısal bir niceliği tanımlayabilme yeteneği kesin olmayan bir iştir. Eğer sürgü cetveline vurulursa üzerine "yazılmış" sayının gösteriminde hata ortaya çıkacaktır. Bununla birlikte bir abaküse, boncukları tamamen yerlerinden çıkmadan kuvvetlice vurulması (farklı bir sayıyı göstermesi) yeterlidir.
Sayısalın doğruluktaki bu farklı gösteriminin, analog dan ister istemez daha kesin olduğunu düşünerek lütfen yanlış yargıya varmayın. Bir saat sayısal bir terimdir, ama bu demek değildirki sayısal her zaman analogdan daha doğru bir şekilde zaman okur, bu sadece sayısalın görüntüsünün yorumu daha az belirsizdir demektir.
Analog’ a karşılık sayısalın bölünebilirlik gösterimi, irrasyonel sayıların gösterimi hakkında konuşarak daha fazla anlaşılabilinir. n gibi sayılar irrasyonel olarak adlandırılır çünkü tamsayılar yada sayıların kesri gibi tam olarak ifade edilemeyebilirler. 22/7 oranının hesaplamalarda n kullanılabildiğini öğrenmiş olsak bile bu sadece bir yaklaşımdır. Mevcut sayı "pi" değeri gibi, ondalık basamaklı herhangi bir sonlu yada sınırlı sayı ile tam olarak ifade edilemeyebilir: n sonsuza kadar gidebilir;

3.1415926535897932384 . . . . .

En azından teorik olarak sürgü cetvelini(yada bir termometre kolonunu bile) ? sayısını mükemmel şekilde gösterecek gibi ayarlamak mümkündür çünkü analog simgelerin artırılıp azaltılabilecek mimimum sınır kademesi yoktur. Sürgü cetvelim 3.141592654 yerine 3.141593 şeklini gösterirse sürgüyü bir miktar daha fazla (yada daha az) iterek daha yakın değer elde edebilirim. Fakat abaküs örneğindeki sayısal bir gösterim ile π yi daha ileri düzeyde doğruluk ile göstermek için ek çubuklara(yer tutuculara yada sayılara) ihtiyacım olacaktır. Basitçe 10 çubuklu bir abaküs ? sayısının değerini 10 rakamdan daha fazla gösteremez, boncukları nasıl ayarladığım önemli değildir. ? yi mükemmel bir şekilde ifade etmek için bir abaküs sonsuz sayıda boncuğa ve çubuğa sahip olmak zorundadır. Elbette ödünleşim analog simgelerin ayarlanması ve okunması için pratik bir sınırlamadır. Pratikte konuşularak 10 rakama kadar sürgü cetvelinin skalası doğru bir şekilde okunamaz çünkü skaladaki işaretler çok kabadır ve insan görüşü çok sınırlıdır. Diğer bir yandan bir abaküs çok fazla yorum hatası olmadan ayarlanabilir ve okunabilir.
Ayrıca analog simgeler doğru bir yorum için karşılaştırılabilecek birkaç çeşit standart gerektirir. Sürgü cetvelleri uzunluğu standart niceliklere dönüştürmek için sürgülerin uzunluğu boyunca basılmış işaretlere sahiptir. Hatta kırmızı sütunu ile termometre grafiği verilen herhangi bir yükseklik miktarı için ne kadar para olduğunu (dolar olarak) gösteren sayılara sahiptir. Değişken aralıklarda ellerimizi aralayarak basit sayıları birbirine bağlamaya çalıştığımızı hayal ediniz. 1 sayısı ellerimizi 1 inç uzaklıkta tutarak gösterilebilir, 2 sayısı 2 inç ile, vesaire. Eğer biri 17 sayısını ifade etmek için ellerini 17 inç uzaklıkta tutmuş ise onun etrafındaki herkes hemen ve kesin bir şekilde bu mesafenin 17 olduğunu yorumlayabilecekler midir? Muhtemelen hayır. Bazıları kısa tahmin edecek (15 yada 16) bazıları da uzun tahmin edeceklerdir (18 yada 19) Elbette yakaladıkları ile övünen balıkçı nicelikteki aşırı tahminleri umursamaz!
Ellerimizdeki parmakları kullanarak tamsayıları 0 dan 10 a kadar simgelendirmeye hazırızdır. Muhtemelen bu gündelik hayatımızda çoğu uygulamada karşılaştığımız, özellikle sayılar ve tamsayıların gösterimi için insanların neden ve genellikle bu sayısal simgelere yöneldiğinin basit bir açıklamasıdır. Kağıda, oduna yada taşa çizgi çizerek aynı nicelikleri oldukça kolay ifade edebiliriz.


Büyük sayıları düşündüğümüzde "çizgi çekme" sayılandırma sistemi oldukça verimsizdir.


Romalılar, eskiden beri kullanılan çizgi çekmek yöntemi yerine yeni bir sistem buldular ve bu yeni sistem sayesinde çok büyük sayıları sembollerle (yada kodlarla) göstermeyi başardılar. 1 için notasyon büyük I harfidir. 5 için notasyon büyük V harfidir. Diğer kodlar artan değerlere sahiptir:

X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Bir kodun sağ tarafına en yakın eşit yada daha düşük değerde başka bir kod birleştirilmesi ile, sağına eklenen koddan büyük olan kodun üzerine kodun değeri eklenir ve toplam büyüklük elde edilir. Bu şekilde VIII, 8 sayısını simgeler ve CLVII, 157 sayısını simgeler. Diğer bir yandan bir kodun sol tarafına en yakın düşük değerde bir kod birleştirilmesi ile birinciden diğer kodun değeri çıkartılır. Bu yüzden IV, 4 sayısını simgeler (V eksi I) ve CM, 900 sayısını simgeler (M eksi C). Romalı sayılandırmasının üretim tarihi hakkında bildiriyi içeren detaylı işaret tanımlaması için yazar listesi kısmına dikkat etmelisiniz. 1987 yılı şu şekilde gösterilir: MCMLXXXVII. Soldan sağa bu sayıyı parçalara ayıralım:

M = 1000 + CM = 900 + L = 50 + XXX = 30 + V = 5 + II = 2

Bu sayılandırma sistemini kullanmadığımız için memnunsunuz değil mi? Büyük sayıların bu yolla ifade edilmesi çok zordur ve değerlerin sol-sağ/çıkartılma-toplanması da çok karmaşık olabilir. Bu sistemin diğer temel bir problemi matematikte çok önemli olan iki kavram, sıfır ve negatif sayılarının ifadesini içermemesidir. Fakat Roma kültürü, matematiğe göre çok daha pratik olan, sadece günlük yaşamda gerektiği kadarıyla kullanılan sayılandırma sistemlerini geliştirmeyi seçtiler.
Büyük sayıları ifade ederken kod pozisyonu yada basamak değeri kavramını ilk keşfeden (bilinen en eski) Babillilerdir ve sayılandırmadaki çok önemli fikirlerden biri için onlara borçluyuz. Romalıların yaptığı gibi büyük sayıları yeni kodlar türeterek ifade etmek yerine, aynı kodları kullanarak onları sağdan sola farklı pozisyonlara basamaklamışlardır. Ondalıklı sayılandırma sistemini, çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmek için "katsayılı" pozisyonlarda kullanılmışlar, sadece on kod (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9) ile bu kavramı geliştirmişlerdir.
Her bir kod bir tamsayı büyüklüğünü temsil eder ve notasyondaki sağdan sola her bir basamak her bir tamsayı büyüklüğü için çarpan sabiti yada katsayısını ifade eder. Örneğin, ondalıklı notasyon "1206" ya bakarsak bunun şu şekilde katsayılı-çarpım bileşenlerine ayrılabileceğini biliyoruz:

1206 = 1000 + 200 + 6 1206 = (1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1)

Her bir kod ondalıklı sayılandırma sisteminde rakam olarak adlandırılır ve her bir katsayı yada basamak değeri en yakın sağdaki rakamın on katıdır. Bundan dolayı sağdan sola işleyen birler basamağı, onlar basamağı, yüzler basamağı, binler basamağı vesaire ye sahibiz.
Ondalık sayılandırmanın nasıl çalıştığının, cebir ve trigonometri gibi üst düzey matematik öğrendikten sonra anlatılmasına kim ihtiyaç duyar? Doğrusu, bu tanımları neden açıklamaya çalıştığımı merak ediyorsunuzdur. Bunun sebebi öncelikle daha önceden bildiğiniz neden ve nasılın bilinmesi diğer sayılandırma sistemlerinin iyi bir şekilde anlaşılmasıdır.
Ondalık sayılandırma sistemi on kod kullanır ve on ile çarpılan basamak-katsayılıdır. Katsayılı basamaklarla aynı stratejiyi kullanarak daha az yada çok kodlar haricinde bir sayılandırma sistemi yaparsak ne olur?
İkili sayılandırma sistemi böyle bir sistemdir. Her biri kendisinden öncekinin on katı kadar sabit katsayı ile on farklı kod simgesi yerine sadece iki kod simgesine sahiptir ve her bir katsayı sabiti kendisinden öncekinin iki katı kadardır. İkili sayılandırma sisteminin olası iki kodu "1" ve "0" dır ve de bu kodlar katsayının çift değerlerinde sağdan sola hizalanmıştır. En sağdaki basamak ondalıklı notasyonda olduğu gibi birler basamağıdır. Sola doğru ilerlendiğinde ikiler basamağı, dörtler basamağı, sekizler basamağı, onaltılar basamağı vesaire elde ederiz. Örneğin aşağıdaki ikili sayı 1206 gibi ondalık sayıya benzer bir şekilde her bir kodun değerinin karşılık gelen katsayı sabiti ile çarpımının toplanmasından elde edilebilir:

11010 = 2 + 8 + 16 = 26 11010 = (1 x 16) + (1 x + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1)

İkili sayılandırma sistemi ile yazdığım (11010) sayı ve ardından standart olarak basamak değerleri ve toplamını gösterdiğim ondalık sayılandırma biçimi (16 + 8 + 2 = 26) karışabilir. Yukarıdaki örnekte iki farklı sayısal gösterimi birleştiriyoruz. İstenmeyen karışıklığı önlemek için yazarken kullandığımız sayılandırma biçimini belirtmek zorundayız. Tipik olarak bu, ikili için "2" ve ondalık için "10" ile alt simge biçiminde yapılmıştır ve böylece ikili sayı 110102 ondalık sayı 2610 a eşittir.
Alt simgeler, üst simgeler gibi matematiksel işlem simgeleri değildirler. Tüm yaptıkları diğer insanların okuması için bu simgeleri yazarken kullandığımız sayılandırma sistemini belirtmektir. "310" a bakarsanız, bunun anlamı üç sayısı ondalık sayılandırma kullanılarak yazılmış olduğudur. Bununla birlikte "310" a bakarsak, bunun anlamı tamamen farklıdır: üçün onuncu kuvveti (59,049). Genellikle eğer alt simge gösterilmemişse, kod(lar)un ondalık sayıyı gösterdiği varsayılır.
Genellikle sayılandırma sisteminde kullanılan kod türlerinin sayısı (ve bundan dolayı basamak-değer çarpanı) sistemin tabanı olarak adlandırılır. "ikili taban" sayılandırması ikili sayı sistemini ve "onlu taban" onlu sayı sistemini vermektedir. Ek olarak ondalık sistemde kullanılan alışıldık rakam kelimesinden farklı olarak her bir kod pozisyonunu ikili sistemde bit terimi ile karşılarız.
Şimdi, herhangi biri neden ikili tabanlı sayı sistemini kullanacaktır? On kodlu ondalık sistemi, iki elimizdeki on parmağımızı çok anlamlı yapar. (Bazı eski merkez Amerikan kültüründe kullanılan yirmi tabanlı sayılandırma sistemi ilginçtir. Tahminen ayak ve el parmaklarını saymak için kullanmışlardı!!..). Fakat modern elektronik, bilgisayarlarda ikili sayılandırma sisteminin birincil kullanılma nedeni, iki kod durumunun (0 ve 1 bitleri) elektronik olarak gösterilme kolaylığıdır. Nispeten basit bir devre ile devrenin açık (akım) yada kapalı (akım yok) sayılarından her bir bit ini gösteren ikili sayıları üzerinde matematiksel operasyonlar gerçekleştirebiliriz. Her bir çubuğun diğer ondalık rakamı ifade ettiği abaküs gibi, büyük sayıları simgelemek amacı ile bize daha fazla bit vermesi için basitçe daha çok devre ekleyebiliriz. İkili sayılandırma aynı zamanda depolamak ve sayısal bilgiye erişmek için yardım eder: manyetik kaset üzerinde (demir oksidin kaset üzerindeki izleri, ikili "1" için mıknatıslanmış yada ikili "0" için mıknatıslanmamış), optik diskler üzerinde (alüminyum folyodaki lazerle-yakılmış bir çukur ikili "1" i ve yakılmamış bir nokta ikili "0" ı gösterir.
Sayısal devrede tüm bunların tamamen nasıl olduğunu öğrenmeye çalışmadan önce ikili ve diğer ilişkili sayılandırma sistemlerine daha fazla aşina olmamız gerekmektedir.